Vorlesung im Bachelor Mathematik und Wirtschaftsmathematik.
Voraussetzungen
Analysis I - III, Funktionalanalysis nicht zwingend erforderlich, aber (vor allem gegen Ende der Vorlesung) von Vorteil. Der Besuch einer Vorlesung zu gewöhnlichen Differentialgleichungen wird ebenfalls nicht vorausgesetzt.
Leistungsnachweis
1x Portfolioprüfung, bestehend aus:
* Abgabe von mind. 12 (gut) bearbeiteten Übungsaufgaben aus mind. 8 Übungsblättern,
* Mündliche Prüfung (30 Minuten) über den Inhalt der Vorlesungen (nach Vorlesungsende)
Viele Phänomene der Natur-, Sozial- oder Wirtschaftswissenschaften lassen sich (zumindest näherungsweise) in Form von partiellen Differentialgleichungen beschreiben. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen betrachtet man Gleichungen, die von einer unbekannten Funktion in mehreren Variablen (wie etwa Zeit und Ort) sowie einigen ihrer partiellen Ableitungen abhängen. Im Rahmen dieser Vorlesung werden mit der Laplace-, der Wärmeleitungs- und der Wellengleichung zunächst die drei Prototypen der elliptischen, parabolischen und hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen diskutiert. Insbesondere wird hierbei auf die Existenz und wichtige Eigenschaften von klassischen Lösungen eingegangen, die zum Teil aus expliziten Darstellungsformeln ablesbar sind. Für allgemeine Gleichungen ist dies nicht mehr möglich, so dass abschließend das Lösungskonzept erweitert und sogenannte schwache Lösungen eingeführt werden. Typischerweise stellt man geringere Anforderungen hinsichtlich der Regularität von Lösungen (etwa Sobolevregularität anstelle von klassischer Differenzierbarkeit) sowie der Lösungseigenschaft (in einem schwachen Sinn, in Abhängigkeit von der Form der Gleichung), was eine Lösungstheorie mithilfe von funktionalanalytischen Methoden ermöglicht.
Anmelderegeln
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