Allgemeine Informationen

Veranstaltungsname	Seminar: Seminar zur harmonischen Analysis
Semester	SS 2018
Aktuelle Anzahl der Teilnehmenden	7
erwartete Teilnehmendenanzahl	15
Heimat-Einrichtung	Algebra und Zahlentheorie
beteiligte Einrichtungen	Institut für Mathematik
Veranstaltungstyp	Seminar in der Kategorie Lehre
Erster Termin	Montag, 09.04.2018 12:15 - 13:45, Ort: (1005/L)
Voraussetzungen	Es werden Kenntnisse in Analysis und Maßtheorie benötigt, wie sie etwa durch den Besuch der Vorlesungen Analysis I--III oder Analysis I--II/Stochastik I erworben werden. Die nötigen funktionalanalytischen Voraussetzungen werden im Seminar selbst entwickelt.
Veranstaltung findet online statt / hat Remote-Bestandteile	Ja
Hauptunterrichtssprache	deutsch
Literaturhinweise	Deitmar, A., Echterhoff S.: Principles of Harmonic Analysis, 2nd ed. Universitext, Springer-Verlag (2014).
ECTS-Punkte	6

Lehrende

Räume und Zeiten

(1005/L): Montag: 12:15 - 13:45, wöchentlich (13x)

Studienbereiche

Kommentar/Beschreibung

Die harmonische Analysis beschäftigt sich mit der Analysis auf lokal kompakten Gruppen. Eine lokal kompakte Gruppe ist ein topologischer Raum zusammen mit einer Gruppenstruktur, so daß Addition
und Inversenbildung stetig sind und jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. Das klassische Beispiel für eine solche lokal kompakte Gruppe ist (R, +, 0). Andere Beispiele sind die diskrete Gruppe (Z, +, 0), die Kreisgruppe (U(1), ·, 1) oder die multiplikative Gruppe (R*, ·, 1).

Die Resultate der harmonischen Analysis sind sowohl für die angewandte Analysis als auch für die Funktionentheorie, die analytische Zahlentheorie und die theoretische Physik wichtig.

Im Seminar, welches sich sowohl an Bachelor- als auch an Masterstudenten richtet, werden wir unter anderem folgende Themen ansprechen:

Haarsches Maß: Das Haarsche Maß verallgemeinert das Lebesguesche Maß auf R auf beliebige lokal kompakte Gruppen.

Pontryagin-Dualität: Jeder lokal kompakten abelschen Gruppe G wird eine duale Gruppe Ĝ zugeordnet, vergleichbar mit dem Dualen eines Vektorraumes. Dabei gehen kompakte Gruppen in diskrete und umgekehrt ineinander über. Die Gruppe R ist selbstdual. Die Gruppen U(1) und Z sind zueinander dual.

Fourier-Transformation: Die Fourier-Transformation definiert einen Isomorphismus zwischen den L¹-Funktionen auf G und denen auf Ĝ und verallgemeinert die klassische Fourier-Analysis.

Plancherel-Theorem: Die Fourier-Transformation kann zu einem unitären Isomorphismus zwischen den L²-Funktionen auf G bzw. Ĝ fortgesetzt werden.

p-adische Zahlen: Für die analytische Zahlentheorie sind die p-adischen Zahlen Qp wichtig, vollständige lokal kompakte Körper, die wie auch R durch Vervollständigung von Q nach einem geeigneten Absolutbetrag entstehen. Durch Setzung von Q∞ := R gliedert sich R in diese Familie ein.

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