Seminar zur Geometrie. Empfohlene Semester sind Master 1-4, Bachelor 5-6.
Mannigfaltigkeiten spielen in weiten Teilen der Geometrie und Topologie eine fundamentale
Rolle. Von besonderem Interesse sind dabei global-topologische Eigenschaften der zugehörigen
Tangentialbündel. Charakteristische Kohomologieklassen sind ein Hilfsmittel, diese Eigenschaften
mathematisch zu erfassen und zu untersuchen. Sie sind ein unentbehrliches Werkzeug in
der Di fferentialtopologie, in der algebraischen Geometrie (Riemann-Roch-Sätze) und in der
globalen Analysis (Atiyah-Singer-Indexsatz).
Nach einer Diskussion der grundlegenden Begri e wie Vektorbündel und Kohomologietheorie
entwickeln wir in unserem Seminar die Theorie der Stiefel-Whitney-, der Chern- und der
Pontrjagin-Klassen. Neben der topologischen wollen wir hier auch die analytische Sichtweise ansprechen,
die auf Krümmungseigenschaften von Prinzipalbündeln basiert (Chern-Weil-Theorie).
Als prominente Anwendungen besprechen wir den Hirzebruchschen Signatursatz, die Bordismusklassif kation glatter Mannigfaltigkeiten und die Existenz exotischer Sphären.
Die Veranstaltung richtet sich vorwiegend an Masterstudierende, kann aber auch von interessierten
Hörern und Hörerinnen im Bachelorstudium besucht werden. Grundkenntnisse in der
Geometrie oder Topologie werden vorausgesetzt. Das Seminar eignet sich auch gut als Begleitung
zur Vorlesung "Di fferentialtopologie und Analysis auf Mannigfaltigkeiten", ist aber von
dieser Veranstaltung unabhängig.
