Seminar: Seminar zu BV-Funktionen und Variationsproblemen in BV - Details

Seminar: Seminar zu BV-Funktionen und Variationsproblemen in BV - Details

Allgemeine Informationen

Veranstaltungsname Seminar: Seminar zu BV-Funktionen und Variationsproblemen in BV
Semester WS 2026/27
Aktuelle Anzahl der Teilnehmenden 2
erwartete Teilnehmendenzahl 12
Heimateinrichtung Angewandte Analysis/Numerische Mathematik
Veranstaltungstyp Seminar in der Kategorie Lehre
Teilnehmende Masterstudierende in Mathematik, Mathematical Analysis and Modelling, Mathematik und Information, Data Science.
Lernorganisation Als Blockseminar nach Ende der Vorlesungszeit.
Leistungsnachweis Kenntnisse in Funktionalanalysis und Basiswissen zu Sobolevräumen. Der Besuch der Veranstaltung ``Variationsrechnung'' im Wintersemester wird empfohlen, ist aber nicht zwingend notwendig.
Veranstaltung findet in Präsenz statt / hat Präsenz-Bestandteile Ja
Hauptunterrichtssprache deutsch
Weitere Unterrichtssprache(n) englisch

Räume und Zeiten

Die Zeiten der Veranstaltung stehen nicht fest.

Studienbereiche

Modulzuordnungen

Kommentar/Beschreibung

Funktionen von beschränkter Variation spielen eine zentrale Rolle in zahlreichen Anwendungen der modernen Analysis und Variationsrechnung. Sie ermöglichen die mathematische Beschreibung von Sprüngen und Kanten und finden daher unter anderem Einsatz in der Bildverarbeitung, den Materialwissenschaften sowie der geometrischen Maßtheorie. Darüber hinaus bilden BV-Räume den natürlichen Lösungsraum für viele Variationsprobleme mit linearem Wachstum, etwa für das nicht-parametrische Minimalflächenproblem. Während Minimalfolgen (oder besser Infimalfolgen) in solchen Problemen im Allgemeinen lediglich im Sobolevraum W^{1,1} beschränkt sind, reichen dessen Kompaktheitseigenschaften für einen Existenzbeweis mittels der direkten Methode der Variationsrechnung nicht aus. Der Übergang zum $BV$-Raum stellt die notwendige Kompaktheit wieder her, erfordert aber eine Fortsetzung des Funktionals auf diesen Raum und ermöglicht so dann den Nachweis der Existenz sogenannter verallgemeinerter Minimierer.

Im Seminar werden zunächst die maßtheoretischen Grundlagen entwickelt, die für die Theorie der Funktionen von beschränkter Variation und Variationsprobleme mit linearem Wachstum benötigt werden. Darauf aufbauend werden BV-Funktionen eingeführt und ihre grundlegenden analytischen und geometrischen Eigenschaften untersucht. Ein Schwerpunkt liegt auf Kompaktheits- und Konvergenztheorie sowie auf der feinen Struktur der Maßableitung. Abschließend werden Variationsprobleme mit linearem Wachstum behandelt, insbesondere im Hinblick auf deren Relaxierung und Reshetnyaks Stetigkeits- und Unterhalbstetigkeitssätze.